Фричество I

[i_eron]

Если у тебя спрошено будет: что полезнее,
солнце или месяц? - ответствуй: месяц.
Ибо солнце светит днём,
когда и без того светло; а месяц - ночью.
Козьма Прутков

Знаете, почему Земля - круглая? В смысле, шар?

Оказывается, там внутри - магма. Это такой вязкий, раскалённый расплавленный камень. Который, когда он выливается из вулкана, называется лавой. Кстати, в магме есть много растворённого газа. Этот газ там под большим давлением, так что извержение вулкана похоже на открывание бутылки кока-колы. Газ уходит вверх, а лава, шипя и булькая, стекает по краям.

Твёрдая оболочка Земли, на которой мы живём, с трудом удерживает внутри всю эту магму. Толщина земной коры - километров 40. И ведь это там, где суша. А под океанами земная кора - всего 5-10 километров. По сравнению с размером всей Земли это очень тонко - тоньше, чем пластиковая оболочка большой бутылки кока-колы по сравнению с самой бутылкой. Ну, хотя бы не так тонко, как в мыльном пузыре. Это похоже на детский воздушный шарик из тонкой резины, который надули так сильно, как смогли.

Теперь, надеюсь, понятно, почему Земля - круглая. Магма у неё внутри, со всем этим растворённым газом, находится под громадным давлением - больше трёх миллионов атмосфер. А оболочка - совсем тонкая, вот она и надута, как воздушный шар.

Кстати, в поисках нефти люди бурят океанское дно всё глубже. Например, в прошлом году BP продырявили дно Мексиканского залива глубже, чем на 10 километров. Вот-вот они проткнут кору насквозь и тогда Земля просто лопнет, как воздушный шарик. Лопнуть - вот самый театральный из всех концов света.


Именно такого вздора я в сети не нашёл, но вот похожий. Утверждается, кажется даже всерьёз, что Земля - круглая не как воздушный шар, а как капля. Раньше Земля была жидкой (видимо, вся она была из магмы), а жидкость принимает форму шара из-за поверхностного натяжения. Земля - застывшая большая капля. А астероиды - не круглые, потому что они не были жидкими. Простой расчёт в уме говорит, что гравитация на 18 порядков сильнее поверхностного натяжения для жидкой магменной Земли, но авторы подобных теорий считать обычно не любят - это стесняет полёт фантазии.


Гравитация против поверхностного натяжения 1

Представим себе, что верхний слой Земли - жидкая магма. Пренебрежём отклонением формы реального геоида от идеального шара и его вращением. Посчитаем изменение потенциальной энергии для нарушения шарообразной формы - превращения в эллипсоид вращения так, что полюса поднимаются на один километр, а экватор - сужается.

Из сохранения объёма получается, что радиус Земли на уровне экватора тогда уменьшится почти точно на пол-километра. В остальных местах высота изменится по формуле ΔR(&theta)=3/2*cos²(&theta)-1/2. Между 54.7 параллелями (Вильнюс и Ушуайя, cos²(&theta)=±1/3) Земля продавится, а на север от Вильнюса и на юг от Огненной Земли - вырастет. Гравитационная энергия вырастет, потому что слой магмы с низких широт надо будет расположить повыше в высоких широтах. Из геометрии получается, что средняя толщина перенесённого слоя V/A=sqrt(3)/3 ~192 m, а средняя высота, на которую он поднимется - H=sqrt(3)/6/(sqrt(3)-1) ~394 m. Прирост энергии будет V*&rho*g*H ~9.5е23 J. Плотность магмы тут &rho=2500 kg/m³, средняя для силикатов (магмы бывают разные).

А поверхностная энергия вырастет потому, что площадь эллипсоида больше - Земля растянется. Насколько она больше? Кому-то это покажется странным, но площадь поверхности увеличится всего на пять квадратных километров. Если считать, что поверхностное натяжение магмы &eta=400 mN/m (намного больше воды и почти как у ртути), то прирост энергии будет ~2е6 J. Гравитация Земли сильнее поверхностного натяжения в ~5е17 раз.

Кстати, прирост энергии гравитации пропорционален квадрату радиуса Земли и квадрату удлинения полярного радиуса. И ещё сама сила грацитации пропорциональна радиусу. Так что, если бы Земля была меньше, прирост гравитации от удлинения уменьшился бы, как куб радиуса. А прирост энергии поверхности - только пропорционален квадрату удлинения, а от радиуса Земли он не зависит. Поверхностное натяжение пересилит гравитацию только для "планеты" с радиусом меньше 8 километров.

Гравитация против поверхностного натяжения 2

А что сильнее противостоит не глобальным, а местным флуктуациям формы капли магмы? Если на поверхности вдруг вырастет гора в форме половинки шара радиуса R, то площадь увеличится на &DeltaА=2πR²-πR²=πR². Значит, энергия поверхности возрастёт на &eta*πR². Средняя высота, на которую вспучится магма, будет h=V/A=2/3*πR³/(πR²)=2R/3. Так что гравитационная энергия увеличится на m*g*h=&rho*2/3*πR³*g*2R/3=4/9*πR⁴*&rho*g. Гравитация будет сильнее поверхностного натяжения в 4/9*R²*&rho*g/η. Для километровой горы гравитация будет сильнее в 27 миллиардов раз. А максимальный размер вспучивания, за которое отвечает поверхностное натяжение - 6 миллиметров. В общем, не стоит брать интуицию, основанную на опыте с миллиметровыми каплями, и применять его к каплям размером с Землю.