Детское решение

[i_eron]

(Детская задача)
Пара с наименьшим M - 10 и 40. Проклятый конкурент, оспаривающий у моей любимой пары статус наименьшей - 5 и 45. Остальные "базовые" пары - намного больше. Это получается потому, что они растут, как четвёртая степень исходных взаимно простых пар. А две близкие по размеру минимальные пары получаются из-за каприза среднего арифметического. Оно требует удвоения от пар на основе взаимно простых с разной чётностью, но позволяет поделить надвое пары на основе нечётных взаимно простых.

Решение и ответ nu57, а также ответ spamsink'а близки к правильным, но и там, и там словлен только частный случай d=1, и ещё неточно описан каприз с чётностью.


1. Мы пока не знаем, есть ли у M и N общий делитель больше единицы, или они взаимно простые. Пусть k - их наибольший общий делитель (возможно, единица): M=ka; N=kb. Тогда a и b - взаимно простые.

2. MN - полный квадрат (из-за целости среднего геометрического). MN=k²*a*b. Так как a и b - взаимно простые по определению, каждое из них должно быть полным квадратом: a=c²; b=d². M=k*c²; N=k*d². c и d - тоже взаимно простые.

3. Среднее гармоническое можно записать, как 2MN/(M+N) = 2*k²*c²*d²/(k*c²+k*d²) = 2*k*c²*d²/(c²+d²). Так как c² и d² - взаимно простые, каждое из них - взаимно простое с их суммой c²+d². Иначе говоря, на c²+d² должно делиться 2*k, ведь помощи от c² или d² мы тут не дождёмся.

4. У нас в рассуждениях о делимости появилась двойка. Значит, надо различать чётный и нечётный случай. c² и d² могут быть разной чётности (случай А) или оба нечётные (случай Б). Оба чётными они быть не могут, ведь они взаимно простые.

5А. Случай А. Сумма c²+d² - нечётная. Тогда k должно делиться на c²+d² (потому что двойка перед k нам не помогает). Обозначим k=n*(c²+d²), где n - любое целое положительное число.

5Б. Случай Б. Сумма c²+d² - чётная. Сокращаем на двойку: k должно делиться на (c²+d²)/2. Обозначим k=n*(c²+d²)/2, где n - любое целое положительное число.

6А. Случай А. Среднее арифметическое теперь можно записать (M+N)/2 = (k*c²+k*d²)/2 = n*(c²+d²)²/2. Сумма c²+d² - нечётная, так что n должно делиться на 2. Заменим n на 2n, где n - любое целое положительное число. Не забудем, что k теперь стало k=2n*(c²+d²). Среднее арифметическое (M+N)/2 = (k*c²+k*d²)/2 = n*(c²+d²)² - целое при любом n.
Окончательно: M=2n*(c²+d²)*c²; N=2n*(c²+d²)*d², для любых пар c и d разной чётности (c>d), и для любых целых положительных n.

6Б. Случай Б. Среднее арифметическое теперь можно записать (M+N)/2 = (k*c²+k*d²)/2 = n*(c²+d²)²/4. Сумма c²+d² - чётная, так что её квадрат делится на 4. Среднее арифметическое - целое при любом n.
Окончательно: M=n*(c²+d²)*c²/2; N=n*(c²+d²)*d²/2, для любых пар нечётных c и d (c>d), и для любых целых положительных n.

Забавно, что в случае А общий ответ вчетверо больше, чем в случае Б.

7. Назовём пары, где n=1, базовыми. Из каждой такой пары можно получить серию пар, умножая её на любое целое положительное число. Наверху тут несколько первых базовых пар, слева от которых выставлены исходные взаимно простые c и d, а справа - три средних.

Comments

[spamsink]

Вы будете смеяться, но в http://oeis.org/ нет ни списка средних гармонических из этих таблиц, ни их квадратных корней. Можете оставить след в истории занимательной математики, если хотите.

[i_eron]

Спасибо. Я думал, что, вероятно, такое уже придумывали, но не знал, как искать.

Зачем смеяться - тут надо расправить плечи и высоко поднять голову. Быть первопроходцем в таком важном и ответственном деле, как поиск пар с целыми средними - огромная честь. Вот-вот набегут инженеришки и используют мои серии пар во всяких своих изобретениях, найдут им полезные применения. Эти пары войдут в каждый дом в тысяче обличий и будут вечно служить благодарному человечеству.

Вообще, роль дилетанта, не обременённого грузом знаний, врывающегося на благородном вороном скакуне своего острого разума в сонный стан профессиональных титулованных деятелей какой-либо области науки и крушащего все их шатры на своём пути - это главная романтическая роль нашего времени.

Чёрт, боюсь, я тут немного преувеличил.