Детская задача

[i_eron]

Найти пары целых положительных чисел M и N, M > N, для которых все три пифагоровых средних - целые. Желательно в уме.
1) Найти пару с наименьшим M.
2) Найти все пары (общее решение).

Пифагоровы средние - это среднее арифметическое , среднее геометрическое , среднее гармоническое .

Комментарии, если будут, скрыты до завтра.
Upd. Детское решение

Comments

[iisus.livejournal.com]

Мне кажется, таких пар не существует.

[i_eron]

Ещё как существуют. Я знаю бесконечно много таких. А одну даже нежно люблю.

[spamsink]

Что-то типа

(n*(a^2+1), n*a^2*(a^2+1))

Где n целое для четных a или целое или полуцелое для нечетных a.

[i_eron]

Отлично, это очень близко к правильному. Но:
- в случае чётного "а" Ваше решение даёт полуцелое среднее арифметическое
- Ваше решение не покрывает все случаи, а только часть

[nu57.livejournal.com]

Напишу то, что быстро пришло в голову, чтобы успеть, пока ты не расскринил.

Обозначим среднее арифметическое i, среднее геометрическое j, среднее гармоническое k. Понятно, что k=j^2/i .

Чтобы среднее геометрическое было целым, нужно, чтобы каждый простой множитель входил в произведение MN дважды. Возьмём наименьший из этих простых множителей в качестве N, тогда M=N*l^2 , где l – целое. (Вот тут я не уверена, что это единственно возможный и самый выгодный с точки зрения наименьшего M способ перегруппировки).
Итак, считаем, что M=N*l^2.
Тогда
i=(M+N)/2=N*(l^2+1)/2,
j=N*l,
k=j^2/i=2N*l^2/(l^2+1).
Т.к. l^2 и (l^2+1) – взаимно простые, чтобы k получилось целым, нужно, чтобы N было равно (l^2+1)/2, или, если это не целое, то просто (l^2+1).
M тогда равно N*l^2, т.е. либо M=l^2*(l^2+1)/2, либо M=l^2*(l^2+1).
Это и есть параметрическая общая формула, во всяком случае, одна из.

Теперь смотрим, что наименьшее.
l не может быть равно 1, т.к. M не должно быть равно N.
При l=2 наименьшее N=5, но тогда у M и N разная четность, и среднее арифметическое не целое.
При l=3 целым получается уже N= (l^2+1)/2=5, тогда M=45. Вроде это и есть наименьшая возможная пара (i=25, j=15, k=9).
(Если говорить о средних скоростях, то это как если бы в известной басне про зайца и черепаху, хитрая черепаха первую половину пути пробежала сама, а вторую попросила бы неотличимого от себя братца-мотоцикла.)

[loafer.livejournal.com]

эх, без условия m>n все положительные целые числа подходят:)

[loafer.livejournal.com]

кажется, нашел одну пару: 30 и 120

[i_eron]

Ого! У меня в своё время это заняло много часов :-)
Порядок мысли у меня, в конце концов, был таким же.

Придирки:
1. Действительно, M=N*l^2 - это только частный случай. Может быть M=n*l^2; N=n*k^2, где l и k - произвольные взаимно-простые. Твоё решение - это k=1.
2. С чётностью надо было разобраться чуть почище. Твой первый случай при л=2 даёт полуцелое среднее арифметическое. Его нужно не отбросить, а удвоить. Так что мою любимую пару 10 и 40 ты пропустила.

В другом ответе, тут выше - похожие две неточности (k=1 и чётность).

Твоя пара 5 и 45 - это мой "проклятый конкурент". Удивительно то, что эти две пары - похожи по размеру (моя - наименьшая, только если считать по большему числу), а все остальные пары - намного больше.

[i_eron]

В смысле, когда M=N? Конечно - я старался прикрыть лазейки.

[i_eron]

Правильно. Но она - не наименьшая.

[loafer.livejournal.com]

да, конечно, 30 и 120 не самая маленькая пара. Кажется, самая маленькая 10 и 40. Подсказки я нашел в Вашей последней записи, там были числа 2, 8 и 5. От них и танцевал.
Очень интересно посмотреть на Ваше общее решение.

[i_eron]

Правильно :-)