Три средних

[i_eron]

Вспомнил, как однажды шёл домой от троллейбусной остановки после школы. Дорожка шла немного вверх, она была выложена серыми квадратными плитками размером ровно в 50 сантиметров. Вообще-то этот путь занимал меньше десяти минут, но в тот раз я шёл медленно. Светило солнце и было тепло, по краям дорожки, под коркой слежавшегося снега грязного "тёмно-белого" цвета, текла вода. Снежная корка поэтому нависала над дорожкой с обеих сторон. Я прыгал, стараясь обломать снежную корку, обвалить куски каблуками. Поэтому продвижение и было медленным. Но думал я не об этом, а о трёх средних. В сумке у меня была замечательная математическая книжка "Старинные задачи", толстая, белая, маленького формата. К тому времени она была у меня уже давно - год, наверное - читанная-перечитанная. Правда, многие интересные задачи я в ней тогда решить никак не мог. Задачи на квадратное уравнение, например.

Судя по погоде, это должен был быть март. А год был 1980-ый, потому что летом того года мы переехали в другую квартиру, на ту сторону реки. Вернее, на эту, конечно. Так что мне было девять лет, третий класс.

Я тогда как раз узнал о "среднем гармоническом". Среднее геометрическое для меня было ещё несколько новым, а среднее арифметическое уже было давно освоено. Например, я хорошо понимал разницу между топорным официальным определением "полусумма", и жизнью, в которой можно было гибко орудовать полуразностями. В самом деле, никто в здравом уме ведь не станет складывать числа 1917 и 1991, а потом делить полученное на два, чтобы посчитать среднее между ними. Они отстоят друг от друга на 74 года, половина этого - это 37 лет, значит среднее - 1954. От 1917 до 1954 прошло столько же, сколько от 1954 до 1991. Но можно посчитать ещё проще. Век у них общий, значит, он будет такой же и у среднего. Среднее десятилетий (между 1 и 9) - 5. А среднее единиц (7 и 1) - 4. Выход в открытое море чисел за пределы первого десятка казался мне тогда интересным приключением (и теперь кажется), зато считать внутри десятка было спокойно и уютно. К сожалению, я не помню конкретного примера из двадцатого века, о котором я тогда думал, но ход мысли эти два числа передают правильно.

Среднее арифметическое - это серединка на линейке между двумя числами. Среднее геометрическое - чуть сложнее (про логарифмическую линейку я тогда ещё понимал плохо). Среднее арифметическое - это такое число, что, если от него отнять меньшее из нашей пары, получится то же самое, как если его самого отнять от большего. А среднее геометрическое - если поделить. Например, среднее арифметическое между 2 и 8 - это 5. Потому что расстояние в обе стороны - 3. Если отнимать. А среднее геометрическое между ними - это 4. Расстояние в обе стороны - 2. Если делить. Кстати, геометрическое каждый раз получалось меньше, чем арифметическое. И это понятно - мы сначала делим на меньшее, а потом на большее, значит и промежутки между ними неравны - первый меньше, второй больше.

Среднее гармоническое - это обратное число для среднего арифметического обратных чисел. Например, среднее арифметическое между 1/2 и 1/8 - это 5/16, так что среднее геометрическое между 2 и 8 - это 16/5, то есть, 3.2. Пифагору, герою "Старинных задач", оно было нужно для музыки. Например, если у нас есть две струны (натянутые одинаково), то звук у более длинной будет ниже (его частота будет меньше). Какая должна быть длина струны, чтобы частота её звука была посередине между двумя другими? Средним гармоническим тех двух длин. Например, если у нас есть две струны длиной 2 и 8 дециметров, то для звука посередине между ними надо взять струну длиной 3.2 дециметра, а не 4 или 5. На самом деле, правда, наши уши работают по геометрическим, а не гармоническим правилам, для нас разница между 2 и 8 - это как раз две октавы, и посередине должна быть струна длиной в 4 дециметра. Поэтому у рояля - кривая форма. Длина струн меняется то быстро, то медленно. (Если честно, там струны разной толщины и натянуты по-разному. Но форма рояля от этого до конца не испрямляется.)

Среднее гармоническое встречается в целой уйме задач: всюду, где изменяющееся число - в знаменателе. Например, если из двух разных труб куда-то вливается вода, или если машина едет то быстро, то медленно. У старинных людей почему-то было очень много задач на разные трубы. Видно, одинаковые трубы они тогда ещё делать не умели. Среднее гармоническое, вместе с арифметическим и геометрическим, составляет пифагорову тройку средних. Среднее геометрическое, кстати, оказывается средним геометрическим не только для пары чисел, с которой мы начали, но и для двух других средних. Так что оно между ними посередине, а значит, среднее гармоническое - самое маленькое из трёх, ещё меньше, чем геометрическое. Поэтому, если полдороги идти медленно (2 км/ч), а полдороги бежать (8 км/ч), то средняя скорость будет всего 3.2 км/ч. А чтобы вытянуть эту среднюю скорость до 5 км/ч, если сначала идти медленно, то бежать придётся вчетверо дальше. Это слишком трудно, да и незачем.

Эти 3.2 км/ч - раздражают. Почему это не целое число? Захотелось найти такую пару небольших натуральных чисел, для которых все три пифагоровы средние - тоже натуральные. Я тогда нашёл одну такую пару, и с тех пор использую её, как подопытных кроликов, для размышлений о средних числах. А через год, в десять лет, во время другой прогулки, я нашёл все такие пары - общее решение. Оно оказалось довольно забавным - моя любимая пара самая маленькая, но только, если судить по большему числу. Кроме неё есть ещё одна маленькая пара - проклятый конкурент, а все остальные пары - гораздо больше.

Детская задача
Детское решение

Comments

[iisus.livejournal.com]

Чертовски любопытно, что это за пара. Люблю красивые цифры. Например, если для интереса мысленно взбираться на скалу возведения двойки во всё большую степень, то можно найти такие живописные плато, как 33 55 44 32.

[i_eron]

Я обязательно напишу ответ, немного погодя :-).

Ну, это плато живописное только потому, что у нас по 10 пальцев на руках. В детстве я переживал, что не 12, и выводил, например, признаки делимости на простые числа в двенадцатиричной системе счисления.

Потом смирился с десяткой. Так что действительно, число красивое.

[iisus.livejournal.com]

Конечно, подлинная красота отдельных алгебраических феноменов не зависит от системы счисления. Её можно уловить лишь врождённым чувством абстракттного, не привязанным к знакам. Читал где-то, что слабоумные дети-близнецы играли, называя друг другу шестизначные простые числа. Врач заметил это и назвал им из таблицы восьмизначное. Те на минуту задумались, и вдруг их лица расцвели, и они приняли его в игру, хотя прежде равнодушно относились ко всему окружающему. А после того, как доктор вдарил им десятизначным, в ответ ему было сообщено число двенадцатизначное, но таблица уже закончилась, и проверить было не на чем (19 век), но врач был уверен, что и оно простое, и что дети отличают их как-то по вкусу, без всяких вычислений.

[spamsink]

Какой 19 век? Oliver Sacks (а этот врач был он) живет и здравствует.

[iisus.livejournal.com]

может быть, он описывал не своих пациентов, а некоторый случай из прошлого... но могу и путать

[spamsink]

http://lib.ru/PSIHO/SAKS/chelowek.txt
Глава 23. Близнецы

[f_ja.livejournal.com]

skaičiai turi didelę reikšmę ir jie ypač dalyvauja visokiose asociacijose

o dabar sveikinu dar su vienu skaičiumi - su gimimo diena!

[i_eron]

Ačiū - labai malonu. Tie skaičiai iš tikrųjų yra susirišę su šia diena. Aš, galima pasakyti, trisdešimt metų laukiau šios dienos apie juos parašyti.

[f_ja.livejournal.com]

kaip įdomu
ar specialiai ir rašėte būtent šią dieną?

[i_eron]

Taip. Todėl, kad atsakymas - 10 ir 40.